转自： Renfei Song
写的非常详细，清晰。 这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 UU 和VV ，使得每一条边都分别连接UU、VV中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。 最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。
基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。
匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：
这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。
定理补充：
最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择
最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连
最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。
定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）
定理2：最大匹配数 = 最大独立数
定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数
模板1：intn1, n2, m, ans;int result[101];//记录V2中的点匹配的点的编号bool state[101];//记录V2中的每个点是否被搜索过bool data[101][101];//邻接矩阵true代表有边相连void init(){ int t1, t2; memset(data, 0, sizeof(data)); memset(result, 0, sizeof(result)); ans = 0; scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m); for(int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d", &t1, &t2); data[t1][t2] = true; } return;}bool find(inta){ for(int i = 1; i <= n2; i++) { if(data[a][i] == 1 && !state[i]) //如果节点i与a相邻并且未被查找过 { state[i] = true; //标记i为已查找过 if(result[i] == 0 //如果i未在前一个匹配M中 || find(result[i])) //i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路 { result[i] = a; //记录查找成功记录 result[a] = i; returntrue;//返回查找成功 } } } return false;}int main(){ init(); for(int i = 1; i <= n1; i++) { memset(state, 0, sizeof(state)); //清空上次搜索时的标记 if(find(i)) { ans++; //从节点i尝试扩展 } } printf("%d\n", ans); return 0;} 模板2：
模板二： Hopcroft-Carp算法这个算法比匈牙利算法的时间复杂度要小，大数据可以采用这个算法/* *********************************************二分图匹配（Hopcroft-Carp的算法）。初始化：g[][]邻接矩阵调用：res=MaxMatch(); Nx,Ny要初始化！！！时间复杂大为 O(V^0.5 E)适用于数据较大的二分匹配需要ｑｕｅｕｅ头文件********************************************** */const int MAXN=3000;const int INF=1<<28;int g[MAXN][MAXN],Mx[MAXN],My[MAXN],Nx,Ny;int dx[MAXN],dy[MAXN],dis;bool vst[MAXN];bool searchP(){ queue Q; dis=INF; memset(dx,-1,sizeof(dx)); memset(dy,-1,sizeof(dy)); for(int i=0;i dis) break; for(int v=0;v 模板3：
//************************************************HDU 1054用STL中的vector建立邻接表实现匈牙利算法效率比较高const int MAXN=1505;//这个值要超过两边个数的较大者，因为有linkerint linker[MAXN];bool used[MAXN];vector map[MAXN];int uN;bool dfs(int u){ for(int i=0;i